10. Formulario Estadístico Extendido

Este documento contiene una recopilación exhaustiva de funciones estadísticas implementadas en Python, organizadas por categorías. Cada sección incluye la función, su fórmula (cuando aplica) y la implementación en Python usando bibliotecas como numpy, scipy, statsmodels, pingouin y bambi.

10.1. Estadísticos Descriptivos

Función	Fórmula	Python
Media	\(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\)	np.mean(x)
Mediana	valor que divide el conjunto en dos partes	np.median(x)
Moda	valor más frecuente	scipy.stats.mode(x, keepdims=False)
Varianza muestral	\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2\)	np.var(x, ddof=1)
Varianza poblacional	\(\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2\)	np.var(x)
Desviación estándar	\(s = \sqrt{s^2}\)	np.std(x, ddof=1)
Coef. de variación	\(CV = \frac{s}{\bar{x}}\)	scipy.stats.variation(x)
Rango intercuartílico	\(IQR = Q_3 - Q_1\)	scipy.stats.iqr(x)
Asimetría (skew)	\(g_1 = \frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3\)	scipy.stats.skew(x)
Curtosis	\(g_2 = \frac{1}{n} \sum \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 - 3\)	scipy.stats.kurtosis(x)
Suma de cuadrados total	\(\sum (x_i - \bar{x})^2\)	np.sum((x - np.mean(x))**2)
Covarianza	\(Cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)	np.cov(x, y)[0,1]

10.2. Inferencia Clásica

10.2.1. Pruebas t y ANOVA

Función	Fórmula	Python
t una muestra	\(t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}\)	scipy.stats.ttest_1samp(x, mu0)
t muestras independientes	\(t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\)	scipy.stats.ttest_ind(x1, x2)
t pareada	\(t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}\)	scipy.stats.ttest_rel(x1, x2)
ANOVA una vía	-	pingouin.anova(dv='y', between='grupo', data=df)
ANOVA dos vías	-	pingouin.anova(dv='y', between=['A','B'], data=df)

10.2.2. Otros

Función	Fórmula	Python
Chi² de independencia	\(\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}\)	scipy.stats.chi2_contingency(tabla)
Intervalo confianza (media)	\(\bar{x} \pm t^* \frac{s}{\sqrt{n}}\)	scipy.stats.t.interval(...)
Intervalo confianza (proporción)	\(\hat{p} \pm z^* \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}\)	statsmodels.stats.proportion_confint(...)
Test de normalidad de Shapiro	-	scipy.stats.shapiro(x)

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10.3. Pruebas No Paramétricas

Función	Descripción	Python
Mann-Whitney U	Alternativa a t para muestras independientes	scipy.stats.mannwhitneyu(x1, x2)
Wilcoxon pareado	Alternativa a t pareada	scipy.stats.wilcoxon(x1, x2)
Kruskal-Wallis	ANOVA no paramétrico	scipy.stats.kruskal(x1, x2, ...)
Friedman	ANOVA de medidas repetidas no paramétrico	scipy.stats.friedmanchisquare(...)

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10.4. Correlaciones

Función	Fórmula o descripción	Python
Pearson	\(r = \frac{Cov(X,Y)}{s_X s_Y}\)	scipy.stats.pearsonr(x, y)
Spearman	basado en rangos	scipy.stats.spearmanr(x, y)
Kendall tau	pares concordantes y discordantes	scipy.stats.kendalltau(x, y)
Punto-biserial	correlación continua vs binaria	scipy.stats.pointbiserialr(x, y)
Rango-biserial	tamaño de efecto de Mann-Whitney	pingouin.compute_effsize(..., eftype='r')

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10.5. Modelos

Modelo	Fórmula o tipo	Python
Regresión lineal simple	\(y = \beta_0 + \beta_1 x\)	.statsmodels.formula.api.ols('y ~ x', data).fit()
Regresión lineal múltiple	\(y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_p x_p\)	statsmodels.formula.api.ols('y ~ x1 + x2', data).fit()
Regresión logística	\(log\left(\frac{p}{1 - p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x\)	Logit(y, X).fit()
Función expit	\(\frac{1}{1 + e^{-x}}\)	scipy.special.expit

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10.6. Tamaño de Muestra

Objetivo	Fórmula aproximada	Python
Proporción (conocida)	\(n = \frac{Z^2 p(1-p)}{E^2}\)	statsmodels.stats.proportion.proportion_effectsize() + TTestIndPower()
Media (desv. conocida)	\(n = \left(\frac{Z \sigma}{E}\right)^2\)	statsmodels.stats.power.TTestPower().solve_power(...)

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10.7. Inferencia Bayesiana

10.7.1. Conceptos clave

• Teorema de Bayes:
  \(P(H \mid D) = \frac{P(D \mid H) \cdot P(H)}{P(D)}\)

• Distribución posterior:
  Resultado de combinar la verosimilitud con la distribución a priori.
  En modelos simples puede calcularse de forma analítica, en modelos complejos se estima con métodos numéricos como MCMC.

• Posterior predictiva:
  \(p(\tilde{y} \mid D) = \int p(\tilde{y} \mid \theta) \cdot p(\theta \mid D) \, d\theta\)

• Intervalos de credibilidad:
  Rango de valores del parámetro que contiene una probabilidad dada (por ejemplo 95%) según la distribución posterior.
  arviz.hdi(idata, hdi_prob=0.95)

• Factor de Bayes (BF10):
  Relación de verosimilitudes entre el modelo alternativo y el nulo.
  \(BF_{10} = \frac{P(D \mid H_1)}{P(D \mid H_0)}\)
  pingouin.bayesfactor_ttest(...)

• Estimación de parámetros con MCMC:
  import bambi as bmb
model = bmb.Model("y ~ x", data)
idata = model.fit()

• Diagnóstico de convergencia:
  arviz.plot_trace(idata)
arviz.summary(idata)
arviz.rhat(idata)
arviz.ess(idata)

• Visualización de resultados:
  arviz.plot_posterior(idata)
arviz.plot_forest(idata)
arviz.plot_ppc(idata)

• Comparación de modelos bayesianos:
  arviz.compare({ "modelo1": idata1, "modelo2": idata2 })

Este formulario puede expandirse con medidas específicas según tus necesidades (series de tiempo, clustering, modelos mixtos, etc.).